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Le puzzle homothétique, l’énigme maths du « Monde » n° 3

Un puzzle homothétique est un ensemble de pièces géométriques que l’on peut assembler de différentes façons. Comme dans un puzzle classique, il est possible de déplacer et de tourner les pièces. Mais, contrairement à un puzzle classique, il est également autorisé de les agrandir ou de les rétrécir à volonté. Les figures A et B montrent qu’avec les trois mêmes pièces, il est possible de reconstruire soit un disque, soit un carré.

Un théorème démontré en 2003 par le mathématicien Christian Richter affirme même que, si on prend deux figures géométriques (presque) quelconques, il est toujours possible de trouver un puzzle homothétique de trois pièces permettant de reconstituer soit l’une, soit l’autre. Sa solution générale utilise toutefois des pièces possédant certains détails infiniment fins, comme on peut le voir sur l’exemple du disque et du carré.

En suivant le principe des puzzles homothétiques, pouvez-vous découper la forme C en seulement deux pièces permettant de reconstituer un triangle équilatéral ?

Et pouvez-vous, avec également deux pièces, transformer la forme D en carré ?

Il peut exister plusieurs solutions, mais dans les deux cas il est possible de parvenir à vos fins avec des figures géométriques classiques, c’est-à-dire sans détails infiniment fins.

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