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Le carré narcissique, l’énigme maths du « Monde » n° 6

Une énigme narcissique est une énigme qui parle d’elle-même. En voici un exemple.

Combien obtient-on si on multiplie par 2 la somme des chiffres de la réponse à cette question ?

En général, il faut se méfier des énoncés narcissiques, leurs autoréférences sont dangereuses. Autour d’elles rôdent les paradoxes, les tiers non exclus et les boucles infinies… Le vrai et le faux s’y regardent comme dans un miroir. Au VIIe siècle avant notre ère, Epiménide fut parmi les premiers à en faire les frais le jour où il déclara : « Les Crétois sont toujours menteurs, de méchantes bêtes, des ventres paresseux ! » Crétois, Epiménide parlait donc entre autres de lui-même. Alors mentait-il en se disant menteur ? Impossible de trancher de façon cohérente. Aussi impossible que de répondre à « Combien ne vaut pas la réponse à cette question ? » ou « Allez-vous répondre “non” à cette question ? ».

Heureusement pour nous, il existe également des « narcissiades » non paradoxales, dont la résolution peut parfois se révéler périlleuse.

Voyez ce tableau narcissique : chaque case contient un nombre et tous ces nombres ne font rien d’autre que de parler d’eux-mêmes. Sauriez-vous retrouver leur valeur ?

Pour voir le détail, cliquez sursélectionnez une ligne.
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La réponse à la première énigme ne peut pas s’écrire avec plus de deux chiffres, car le double de leur somme lui serait alors bien inférieur. La somme de ses chiffres est donc inférieure à 9 + 9 = 18. Le nombre est donc inférieur à 36. La somme des chiffres est donc inférieure à 2 + 9, et donc le nombre est inférieur à 22. On peut alors examiner les nombres pairs entre 10 et 22 et trouver que seul 18 répond à l’énigme : 18 = 2 × (1 + 8).
Les habitués de ce type d’énigme pourront également avoir pensé au fait qu’un nombre et la somme de ses chiffres ont toujours le même reste dans la division par 9. Pour qu’ils soient double l’un de l’autre, il faut que ce reste soit égal à son propre double et donc égal à 0. Le nombre ne pouvait donc qu’être un multiple de 9, ce qui ne laisse bien que 18.
Pour le carré narcissique, le nombre en haut à droite vaut 4, c’est-à-dire le nombre total de cases, car tout nombre est soit pair, soit impair. Les deux cases noires peuvent alors valoir « 0 et 4 », « 1 et 3 », « 2 et 2 » ou « 3 et 1 ». Seul le cas « 0 et 4 » mène à une solution (« 1 et 3 » ne permet pas d’avoir 3 nombres pairs ; « 2 et 2 » ne permet pas d’avoir 2 nombres pairs ; « 3 et 1 » ne laisse aucune valeur compatible pour la dernière case). Le nombre en bas à gauche est donc nécessairement pair et seule la valeur 2 lui permet de vérifier sa propre propriété.

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